Algorytm odwrotny do Dijkstry

Czy istnieje jakiś algorytm grafowy który działałby odwrotnie do Dijsktry, to znaczy potrafiłby odtworzyć graf ważony nieskierowany (wypisać każdą krawędź wraz z jej wagą) o n wierzchołkach, ponumerowanych od 1 do n, o liczbie krawędzi n-1, mając do dyspozycji sumy wag krawędzi na najkrótszych ścieżkach od wierzchołka 1 do każdego innego z wyjątkiem n oraz sumy wag krawędzi na najkrótszych ścieżkach od wierzchołka n do każdego innego z wyjątkiem 1? Wagi wszystkich krawędzi są dodatnie.

Na pewno nie odtworzyć. Nie przy tak zdefiniowanych danych wejściowych.

Wiem że może istnieć kilka możliwych grafów spełniających podane kryteria, chodzi o to żeby program odtworzył którykolwiek z nich. Wiem też że na 99% da się coś takiego napisać, chodzi mi tylko o to czy jest do tego jakiś algorytm już stworzony czy trzeba wymyślać od zera.